Дипломные работы бесплатно
курсовые, дипломы, контрольные, рефераты
Заказать
   » Главная  » Математика  » Замечательные точки треугольника.

 


Содержание

Введение 3

Глава I. Геометрия замечательных точек треугольника 8

§1. Историческая справка 8

§2. Замечательные точки треугольника, изучаемые в школе 10

2.1. Точка пересечения высот (ортоцентр) 12

2.2. Точка пересечения биссектрис (ицентр) 14

2.3. Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра и ицентра 15

2.4. Расстояние между "замечательными" точками 17

§3. Замечательные точки треугольника, не изучаемые в школе 25

3.1. Прямая Эйлера и окружность Эйлера (окружность девяти точек) 26

3.2. Теорема Лейбница. Теорема Чевы. Точка Нагеля. Точка Жергонна 38

3.3. Точка Ферма. Точка Брокара. Точка Торричелли 44

3.4. Треугольники Наполеона 49

Глава II. Методика проведения занятий по теме "Замечательные точки треугольника" в школьном курсе и на факультативных занятиях 55

§4. Вводные замечания. Цели изучения замечательных точек треугольника 55

§5. Модель усвоения базы знаний 56

§6. Планирование изучения замечательных точек треугольника 59

6.1. Изложение нового материала на трех уроках по школьной программе 59

6.2. Закрепление материала 63

6.3. Контрольный урок 66

6.4. Изложение нового материала на четырех факультативных занятиях по замечательным точкам треугольника 73

Заключение 75

Список литературы 76

Приложение

Введение

Исторически геометрия начиналась с треугольника, поэтому вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является как бы символом геомет-рии; но он не только символ, он - атом геометрии.

Почему именно треугольник можно считать атомом геометрии? Пото-му что предшествующие понятия - точка, прямая и угол - это неясные и не-осязаемые абстракции вместе со связанным с ними набором теорем и задач. Поэтому сегодня школьная геометрия только тогда может стать интересной и содержательной, только тогда может стать собственно геометрией, когда в ней появляется глубокое и всестороннее изучение треугольника.

Удивительно, но треугольник, несмотря на свою кажущуюся простоту, является неисчерпаемым объектом изучения - никто даже в наше время не осмелится сказать, что изучил и знает все свойства треугольника.

Значит, изучение школьной геометрии не может осуществляться без глубокого изучения геометрии треугольника; ввиду многообразия треуголь-ника как объекта изучения - а, значит, и источника различных методик его изучения - необходимо подбирать и разрабатывать материал для изучения геометрии замечательных точек треугольника. Причем при подборе этого материала не следует ограничиваться только лишь замечательными точками, предусмотренными в школьной программе Государственным образователь-ным стандартом, такими как центр вписанной окружности (точка пересече-ния биссектрис), центр описанной окружности (точка пересечения середин-ных перпендикуляров), точка пересечения медиан, точка пересечения высот. Но для глубокого проникновения в природу треугольника и постижения его неисчерпаемости необходимо иметь представления как можно о большем числе замечательных точек треугольника. Это совсем не означает, что всем школьникам на уроках геометрии необходимо преподавать материал, на-пример, про точку Ферма или точку Жергонна; но любой школьник должен иметь принципиальную возможность прикоснуться к этому кладезю идей - либо через факультативные занятия, либо самостоятельно.

Помимо неисчерпаемости треугольника как геометрического объекта, необходимо отметить удивительнейшее свойство треугольника как объекта изучения: изучение геометрии треугольника можно начинать с изучения лю-бого его свойства, взяв его за основу; затем методику изучения треугольника можно построить так, чтобы на эту основу нанизывать все остальные свой-ства треугольника. Другими словами, с чего бы ни начинать изучение тре-угольника, всегда можно дойти до любых глубин этой удивительной фигу-ры. Но тогда - как вариант - можно начинать изучение треугольника с изу-чения его замечательных точек.

В виду вышесказанного, в данной дипломной работе заострим внима-ние не столько на том, что есть в любых школьных учебниках по геометрии, сколько на том, чего в них нет - это, прежде всего, замечательные точки тре-угольника, не изучаемые в школе; если же речь пойдет о школьном материа-ле (например, о точке пересечения медиан), то будет показана его связь с ма-териалом, не изучаемым в школе. Чтобы не быть голословным, приведем пример такой связи материалов[16, 26]:

1) Точка пересечения медиан (центроид).

2) Сумма квадратов расстояний от этой точки минимизирует сумму квадратов расстояний до вершин треугольника, а точка Лемуана минимизи-рует сумму квадратов расстояний до сторон.

3) Две замечательные прямые, содержащие центроид: прямая Эйлера и прямая, проходящая через центр вписанной окружности и точку Нагеля.

4) Если на сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты соответст-венно точки C', A' и B' так, что отрезки AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке, то сумма векторов AA'+BB'+CC' равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда A', B' и C' - середины сторон треугольника (доказатель-ство использует теорему Чевы и теорему Паппа о центрах тяжести.

5) Центры окружностей, описанных около шести треугольников, на которые медианы разбивают данный треугольник, лежат на одной.

6) Если точка P пересечения чевиан AA', BB' и CC' треугольника ABC не является ни его центром тяжести, ни ортоцентром, то центры окружно-стей, описанных около шести треугольников AB'P, PB'C, CPA', A'PB, BPC' и C'PA, на которые чевианы разбивают данный треугольник, не лежат на од-ной окружности.

Все вышесказанное обосновывает актуальность разработки темы данного дипломного исследования.

Также, опираясь на вышесказанное, сформулируем цели и задачи на-стоящего дипломного исследования.

Целью настоящего дипломного исследования является адаптация гео-метрического материала о замечательных точках треугольника к преподава-нию в курсе геометрии 8 класса как в рамках школьной программы, так и на факультативных занятиях.

Для достижения этой цели в работе решаются следующие задачи:

1) привести историческую справку об открытиях в области замеча-тельных точек треугольника;

2) изложить геометрический материал по замечательным точкам тре-угольника, как изучаемым, так и не изучаемым в школьном курсе геометрии;

3) привести методику разработки уроков по замечательным точкам треугольника в рамках школьной программы по геометрии за 8 класс;

4) привести методику разработки факультативных занятий по замеча-тельным точкам треугольника, изучение которых не предусмотрено школь-ным курсом геометрии;

5) подобрать задачи для тестовой программу на языке Паскаль, ис-пользуемой в качестве дидактического материала на контрольном уроке по школьному курсу замечательных точек треугольника.

Степень самостоятельности - подбирались задачи таким образом, что-бы результат решения одной задачи как можно чаще использовался при ре-шении последующих задач. Это делалось с той целью, чтобы при решении задач учащиеся чаще повторяли решенные ранее задачи. Также авторской в данной работе является разработка понятий базы знаний и модели усвоения базы знаний применительно к изучению замечательных точек треугольника.

Дипломная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения.

Первая глава посвящена:

- исторической справке по открытиям в области замечательных точек треугольника;

- изложению теоретического материала и задач с решениями и черте-жами по замечательным точкам треугольника, как изучаемым, так и не изу-чаемым в школьном курсе геометрии.

Вторая глава дипломной работы посвящена адаптации материала пер-вой главы для преподавания в средней школе в рамках школьной программы и на факультативных занятиях, а именно:

- определению целей изучения замечательных точек треугольника в школьном курсе геометрии;

- описанию понятия базы знаний применительно к геометрии замеча-тельных точек треугольника;

- планированию изучения замечательных точек треугольника как на уроках в рамках школьной программы по геометрии в 8 классе с использова-нием учебника Л.С. Атанасяна, так и на факультативных занятиях;

- описанию тестовой программы для контрольного урока по школьной программе изучения замечательных точек треугольника и приведением пол-ного текста тестовых заданий.

В заключении сформулированы выводы по выполнению задач ди-пломной работы, поставленных во введении.

В приложении приведен листинг тестовой программы на языке Пас-каль.

Список литературы

1. Акимов М.К., Козлова В.Т. Индивидуальность учащегося и индивиду-альный подход. - М.: Педагогика, 2002.

2. Амонашвили Ш.А. Личностно-гуманная основа педагогического про-цесса. - М.: Издательство Московского педагогического госуниверси-тета, 2000.

3. Ангеловски К. Учителя и инновации. - М.: Просвещение, 2001.

4. Батурина Г.Т., Кузина Т.Т. О традиционной культуре воспитания. - М.: Педагогика. 2001. №2.

5. Башмаков А.Р. Математика. Пособие для факультативных занятий. - М.: Луч, 1990.

6. Беттельгейм Б. Образование и принцип реальности // Знание-сила. 1995, №4.

7. Борисенков В.П., Краевский В.В., Кутьев В.О., Турбовский Я.С. Фило-софия образования. // Педагогика. 1995. №4.

8. Выготский Л.С. Педагогическая психология. - М.: Просвещение, 1991.

9. Газман О.С. Базовая культура и самоопределение личности. Базовая культура личности: теоретические и методологические проблемы. Сб.науч. тр. Под ред.Газманова О.С. М., Изд.АПН СССР, 2002.

10. Геометрия 7-9. Учебник для средних школ // Атанасян Л.С., Бу-тузов В.Ф. и др. - М.: Просвещение, 1994.

11. Дробышев М.С. Очерки по истории математики. - М.: "Просве-щение", 1999.

12. Задачи по планиметрии // Под ред. Прасолова В.А. - 4-е изд., дополненное - М.: Изд-во Московского центра непрерывного матема-тического образования, 2001.

13. История математики. Сборник статей. Под ред. Драча Г.В. - Р.-на-Д., Феникс, 2002.

14. Кульневич А.В. Педагогика личности: стратегия и тактика. М.: Сатис, 2002.

15. Куланин Е.М. Об одном свойстве точек Ферма. "Матема-тика", № 10, 1997.

16. Куланин Е.М. Связующая нить. "Математика", № 24/97.

17. Максимова В.Н. Проблемный подход к обучению в школе: Ме-тодическое пособие по спецкурсу. - Л.: Издательство Ленинградского госпедуниверситета, 1973.

18. Махмутов М.И. Организация проблемного обучения. - М.: Педа-гогика, 1997.

19. Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. - М.: Педагогика, 1972.

20. Мицкевич А.Б. Школьное образование: что сделано и что делает-ся. Краткий очерк // Российский экономический журнал. 1993. № 1.

21. Прасолов В.Г. Задачи по планиметрии. - 4-е изд., дополненное - М.: Изд-во Московского центра непрерывного математического обра-зования, 2001.

22. Полякова В.А. Сасова И.А. Непрерывное образование //Педагогика. 1999. № 4.

23. Психология. Словарь. - М.: Прогресс, 1996.

24. Райзберг В.В. Математике учить и учиться // Народное образова-ние. 1999. № 9-10.

25. Равичев С.А., Григорьев С.Э. Сборника тестовых заданий по ма-тематике. 8-11 классы. - М.: Вита-Пресс, 2001.

26. Романова Н.И. Содержание углубленного изучения математике в школе // Народное образование. 1999. № 5.

27. Скаткин М.Н. Проблемы современной дидактики. - М.: Педагогика, 1999.

28. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по ма-тематике. Решение задач. - М.: Просвещение, 1989.

29. Щадриков В.Д. Философия образования и образовательные по-литики. - М.: Прогресс, 2003.

30. Щедровский П.Г. Очерки по философии образования. - М.: Пе-дагогический центр "Эксперимент", 1993.

Примечаний нет.

 

Дисциплина: Математика